\section{Ejercicion N 9}
\providecommand{\diferencial}[2]{\frac{\partial #1}{ \partial #2}}

Un intermediario de productos elaborados mantiene en stock cantidades de los mismos con el objeto de satisfacer demandas mensuales definidas. Los dos productos esenciales son A y B y poseen las siguientes características:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}\hline
 & A & B \\ \hline
Demanda (u/mes) & 1.500   & 2.000 \\
Costo de orden (\$) & 500   & 500 \\
Precio de compra (\$/u) & 150 & 100 \\
Tasa de inmovilización mensual   & 2\%   & 2\% \\ 
Superficie ocupada de almacén ($m^{2}/u$) & 0,1 & 0,6 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Se desea calcular los lotes de ambos productos que hagan mínimo el costo total esperado, considerando la existencia de una restricción de superficie disponible de almacén de 450 $m^{2}$.

\comandoResolucion  \\
\\

Se asume $C_1'$ = $C_2' = 0 $  \\

Se quiere optimizar la siguiente expresión:  \\

$$  CTE = \sum_{i=1}^{2} ( b_{i}*D_{i} + \frac{1}{2}\ *C_{1i}*T_{i}*q_{i} + \frac{k_{i}*D_{i}}{q_{i}} )\ $$

Sujeto a la restricción: \\
$$\sum_{i=1}^{2}V_{i}*q_{i} \leq V $$
Verificamos si se cumple la restricción: \\

$$ C_{1A} = C_{1}' + b_{a} * i = 0 + 150 \frac{\$}{u}\ * 0.24 \frac{1}{año}\ = 36 \frac{\$}{u*año}\ $$

$$  q_{oA} = \sqrt{ \frac{2*k_{A}*D_{A}}{C_{1A}*T}\ } = \sqrt{ \frac{ 2*500\$*18000\frac{u}{año}\ }{36 \frac{\$}{u*año}\ }\ } = 707.1067u $$

$$  C_{1B} = C_{1B}' + b_{B}*i = 0 + 100 \frac{\$}{u}\ *0.24 \frac{1}{año}\ = 24 \frac{\$}{u*año}\ $$

$$  q_{oB} = \sqrt{ \frac{2*k_{B}*D_{B}}{C_{1B}*T}\ } = \sqrt{ \frac{ 2*500\$*24000\frac{u}{año}\ }{24 \frac{\$}{u*año}\ }\ } = 1000u $$

$$  \sum_{i=1}^{2} V_{i}*q_{i} \approx 0.1 \frac{m^{2}}{u} \ * 707.1067u + 0.6 \frac{m^{2}}{u}\ * 1000u \approx 670.7106 m^{2} > V = 450 m^{2} $$

Por lo tanto no se cumple la restricción y debe plantearse el lagrangiano. \\
Langrangiano \\
$$ L = \sum_{i=1}^{2} (b_{i}*D_{i} + \frac{1}{2}\ *C_{1i}*T_{i}*q_{i} + \frac{k_{i}*D_{i}}{q_{i}})\ + \lambda * (\sum_{i=1}^{2} V_{i}*q_{i} - V) $$
\\
Derivando $L$ con respecto a $q_{i}$ e igualando a cero: \\
$$  \diferencial {L}{q_{i}} = \frac{1}{2} \ * C_{1i} * T_{i} - \frac{k_{i}*D_{i}}{q_{i}^{2}}\ + \lambda * V_{i} = 0 $$
Se despeja $q_{i}$ \\
$$ q_{i} = \sqrt{\frac {2*k_{i}*D_{i}}{C_{1i}*T + 2 * \lambda * V_{i}}} $$ \\
Derivando $L$ con respecto a $\lambda$ e igualando a cero: \\
$$  \diferencial {L}{\lambda} = \sum_{i=1}^{2}V_{i}*q_{i} - V = 0 $$ \\
Se despeja $V$
$$ V = \sum_{i=1}^{2} V_{i}*q_{i} $$ \\
Para encontrar $q_{A}$ y $q_{B}$ se prueban distintos valores de $\lambda$ de forma tal de 
acercarnos lo más posible a lo propuesto por la restricción, y de esa manera aprovechar el 
espacio del almacén al máximo posible: \\
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c}
\hline
$\lambda$ & $q_{A}$ & $q_{B}$ & $\sum_{i=1}^{2}V_{i}*q_{i}$\\ \hline
0 & 707.1067 & 1000 & 670.7106 \\ \hline
1 & 705.1507 & 975.9000 & 656.0550 \\ \hline
10 & 688.2472 & 816.4965 & 558.7226 \\ \hline
20 & 670.8203 & 707.1067 & 491.3460 \\ \hline
30 & 654.6536 & 632.4555 & 444.9386 \\ \hline
25 & 662.5891 & 666.6666 & 466.2589 \\ \hline
27.5 & 658.5855 & 648.8856 & 455.1899 \\ \hline
28.75 & 656.6107 & 640.5126 & 449.9686 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Entonces 
$$\boxed{\lambda = 28.75}$$
$$\boxed{q_{A} = 656.6107\,u}$$
$$\boxed{q_{B} = 640.5126\,u}$$


